İslâm riyaziye tarihinin en orijinal ve derin matematikçilerinden biri olan Şerefüddîn el-Muzaffer b. Muhammed et-Tûsî (1135–1213), Horasan'ın meşhur Tûs şehrinde doğmuş, ömrünü Hemedan, Bağdat, Dımaşk ve Musul mekteplerinde matematik tedrisine hasretmiştir.

Devrinin en büyük hendese ve cebir üstadı kabul edilen Şerefeddîn et-Tûsî, özellikle Musul'da Kemâleddîn İbn Yûnus gibi dâhileri yetiştirerek İslâm riyaziye silsilesinin omurgasını kurmuştur.

Hârizmî ile başlayan ve Ömer Hayyâm ile cebirsel geometrinin sınırlarına ulaşan İslâm cebir geleneği, Şerefeddîn et-Tûsî'nin dâhiyâne analitik hamleleriyle modern analizin eşiğine kadar ilerlemiştir.

Şerefeddîn et-Tûsî'nin matematik tarihindeki anıt eseri, kısa adıyla Kitâb fi'l-Mu'âdelât (Denklemler Üzerine Kitap / Külliyyât-ı Riyâziyye) adını taşır.

Hârizmî birinci ve ikinci dereceden denklemleri cebirsel olarak çözmüş; Ömer Hayyâm ise üçüncü dereceden (kübik) denklemleri geometrik konik kesitlerle (parabol ve çember kesişimleri) sınıflandırmıştı. Şerefeddîn et-Tûsî, Hayyâm'ın bıraktığı yerden bayrağı devralmış ve kübik denklemleri 25 farklı türe ayırarak her birinin pozitif köklerinin varlık şartlarını incelemiştir.

Eser, cebirsel denklemleri sadece geometrik şekillerle çözmekle kalmamış; denklemi bir fonksiyon gibi ele alarak köklerin hangi aralıklarda bulunabileceğini sayısal olarak tayin etmiştir.

Modern matematik tarihçilerini (özellikle Roshdi Rashed) en çok hayrete düşüren husus, Şerefeddîn et-Tûsî'nin x³ + d = bx veya x³ + bx = d şeklindeki kübik denklemlerin pozitif köklerinin varlığını ispatlarken fonksiyonun yerel maksimum (ekstremum) noktasını bulma yöntemidir.

Tûsî, f(x) = bx - x³ ifadesinin maksimum değerini bulabilmek için modern diferansiyel hesapta f'(x) = b - 3x² = 0 ⇒ x = √(b/3) türev alma işlemine denk gelen formülü keşfetmiştir.

Eğer d > 2(b/3)√(b/3) ise denklemin pozitif kökü olmadığını, eşit ise tek bir çift kök olduğunu, küçük ise iki pozitif kök bulunduğunu açıkça ortaya koymuştur. Bu analiz, Avrupa'da Fermat ve Newton'un 17. yüzyılda kurduğu diferansiyel hesabın 500 yıl önceki muhteşem İslâmî habercisidir.

Apollonius'un konikleri (parabol, hiperbol ve elips) ile Öklid hendesesini meczeden Şerefeddîn et-Tûsî, cebirsel denklemlerin köklerini iki konik eğrisinin kesişim noktalarının koordinatları olarak geometrik düzlemde inşa etmiştir.

Bir parabol ile bir hiperbolün kesişiminden elde edilen x değerinin, aranan kübik denklemin kökü olduğunu pergel ve cetvel çizimleriyle hatasız bir şekilde ispatlamıştır.

Bu yöntem, cebir ile geometri arasındaki yapay ayrımı tamamen yıkan analitik geometrinin doğuş zeminidir.

Şerefeddîn et-Tûsî, geometrik kök tespitiyle yetinmemiş; denklemlerin yaklaşık sayısal köklerini bulabilmek için modern matematikte Ruffini-Horner yöntemi olarak bilinen ardışık çarpanlara ayırma ve basamak basamak yaklaştırma algoritmasını uygulamıştır.

Karekök ve küpkök hesaplamalarında altmışlık ve ondalık kesirleri kullanarak kökün sayısal değerini virgülden sonra inanılmaz bir hassasiyetle hesaplamıştır.

Bu hesaplama zihniyeti, daha sonra Gıyâseddin Cemşîd el-Kâşî ve Mîrim Çelebi gibi Semerkant ve Osmanlı riyaziyecilerinin trigonometrik nümerik analizlerine ilham kaynağı olmuştur.

Şerefeddîn et-Tûsî, mekanik rasat aletleri sahasında da tarihe geçen bir icada imza atmıştır: el-Asâ veya bilinen adıyla Asa-yı Tûsî (Tûsî'nin Bastonu / Doğrusal Usturlap).

Geleneksel dairesel usturlapların yerine, üzerinde özel taksimatların, deliklerin ve hareketli iplerin bulunduğu baston şeklinde düz bir rasat aleti tasarlamıştır.

Bu doğrusal alet, seyyahların ve askerlerin yanlarında kolayca taşıyabilecekleri, yıldız irtifâlarını, yerel saati ve enlem derecelerini dağ başlarında dahi hatasız ölçebilecekleri hafif ve dâhiyâne bir pratik astronomi cihazıdır.

Tarihçi İbn Hallikân'ın kaydettiğine göre, Şerefeddîn et-Tûsî sadece aklıyla değil; ahlâkı, nezaketi ve talebelerine olan cömertliğiyle de devrinde efsaneleşmiş bir şahsiyettir.

Ders verdiği medreselerde fakir talebelerin geçimini bizzat üstlenir, matematik derslerini bir üstünlük vesilesi değil; zihni kibre karşı koruyan, acziyeti ve tevazuyu öğreten bir nefis terbiyesi olarak görürdü.

Ona göre sayıların sonsuzluğu karşısında insanın acziyetini hissetmesi, hakiki marifetullah kapısının aralanması demekti.

Şerefeddîn et-Tûsî, İbn Sînâ mektebinin mantık ilkelerini matematiksel ispatlara tatbik etmiştir. Ona göre bir önermenin hendesî delili, mantıktaki burhan-ı kat'î (kesin kanıt) seviyesinde olmalıdır.

İslâm dünyasında kelâm ve felsefenin riyazîleşmesinde, mantık ile hendesenin aynı hakikatin iki farklı lisanı olduğunun idrak edilmesinde Tûsî'nin eserleri dönüm noktasıdır.

İslâm cebir mirası İtalya'ya Fibonacci (Leonardo da Pisa) vasıtasıyla ulaştığında, kübik denklemler problemi Avrupa'da 16. yüzyılda Cardano, Tartaglia ve Ferrari'nin meşhur çekişmelerine konu olmuştur.

Oysa Şerefeddîn et-Tûsî, bu denklemlerin köklerinin varlık koşullarını ve maksimum noktalarını asırlar önce Şam ve Musul dersliklerinde talebelerine dikte ettiriyordu.

Roshdi Rashed'in Fransızca ve Arapça neşirleriyle gün ışığına çıkan Kitâb fi'l-Mu'âdelât, İslâm cebir tarihinin modern matematik tarihindeki en yüksek zirvelerinden biri olduğunu tescillemiştir.

Şerefüddîn et-Tûsî, harflerin arkasındaki meçhulü (x / şey) çözerken, her meçhulün nihayetinde el-Evvel ve el-Âhir olan Hakk'ın tecellisine işaret ettiğini tefekkür etmiştir.

Cebirsel denklemlerin kökleri, kâinattaki her meselenin bir çözümü, her müşkülün ilâhî adalet terazisinde bir dengesi olduğunu fısıldar.

Horasan'dan Musul'a uzanan bu analitik ve irfânî miras, SİHRA külliyatının riyaziye burcunda parıldayan mücevherlerden biridir.