Semev'el el-Mağribî ve el-Bâhir fi'l-Cebir: Polinom Aritmetiği, Negatif Sayılar ve Cebirsel Analiz Külliyâtı

Ebû Nasr es-Semev'el b. Yahyâ el-Mağribî (yaklaşık 520-570 / 1126-1175), aslen Mağrip (Fas/Endülüs) kökenli Yahudi bir ailenin çocuğu olarak Bağdat'ta dünyaya gelmiştir. Babası Yahyâ el-Mağribî hem Tevrat ve İbrani edebiyatı hem de Arap dili ve felsefesinde devrin tanınmış bilginlerindendir. Genç Semev'el, küçük yaşta İbranice, Arapça, dinler tarihi, felsefe, tıp ve riyaziyat tahsil etmiştir.

Semev'el, henüz on sekiz yaşındayken Bağdat'taki matematik hocalarını geride bırakmış; Ebû Bekir el-Kerecî'nin (ö. 1029 civarı) cebir kitaplarını satır satır tetkik ederek onların bıraktığı eksiklikleri tamamlamaya girişmiştir. On dokuz yaşında, bilim tarihinin en çığır açıcı cebir eserlerinden biri olan el-Bâhir fi'l-Cebir'i (Cebirde Parlayan Kitap) tamamlamıştır.

«Gençliğimde Tevrat'ın metinlerini, peygamberlerin müjdelerini ve aklın bedihi kanunlarını mukayese ettim. Gördüm ki akıl, hendese ve cebirde olduğu gibi tevhitte de çelişki kabul etmez. Hakikatin nûru kalbime doğduğunda İslam'ın kemâline teslim oldum ve bu intikalimi rasyonel delillerle teyit ettim.» — Semev'el el-Mağribî

Semev'el, 1163 yılında Marâga'da Müslüman olduğunu ilan etmiş; meşhur İfhâmü'l-Yehûd (Yahudilere Karşı Susturucu Deliller) adlı kelami eserini kaleme almıştır. Daha sonra Selçuklu emirlerinin ve hükümdarlarının sarayında hekim ve mühendis olarak hizmet etmiş, Azerbaycan ve Suriye'de ömrünün sonuna kadar ilmi tetkiklerini sürdürmüştür.

Semev'el'in el-Bâhir fi'l-Cebir adlı eseri dört ana makaleden oluşur. Eserin temel gayesi, Kerecî'nin başlattığı «aritmetiğin cebirselleştirilmesi ve cebirin geometriden bağımsızlaştırılması» projesini nihai kemâline erdirmektir.

Hârizmî ve Hayyâm döneminde cebirsel denklemler daima kareler, küpler ve çizgiler gibi geometrik nesneler olarak tasavvur ediliyor; dördüncü veya beşinci kuvvetler (x⁴, x⁵) fiziksel uzayda üç boyuttan fazlası bulunmadığı için geometrik olarak izah edilemiyordu. Semev'el bu engeli tamamen ortadan kaldırmıştır:

• Soyut Büyüklük Anlayışı: Cebirsel bilinmeyen (şey / x), artık bir geometrik çizgi değil; her türlü aritmetik işleme tabi tutulabilen soyut bir sayıdır.
• Kuvvetler Aritmetiği: Bilinmeyenin kuvvetleri sonsuza kadar (x, x², x³, x⁴ ... xⁿ) genişletilebilir ve bunlar üzerinde toplama, çıkarma, çarpma, bölme yapılabilir.
• Aritmetik İşlemlerin Cebire Teşmili: Bilinen sayılarla yapılan dört işlem kanunlarının (toplama, çıkarma, çarpma, bölme, karekök alma) cebirsel ifadelere (polinomlara) aynen uygulanması.

Bu metodolojik sıçrama ile Semev'el, cebiri geometrinin bir dalı olmaktan çıkarıp modern polinomlar teorisinin (abstract polynomial algebra) kurucusu haline gelmiştir.

Semev'el, cebirsel terimlerin mertebelerini göstermek üzere bilim tarihinin ilk kuvvetler cetvelini inşa etmiştir. Bu cetvelde sıfır noktasına el-Aded (sayı / x⁰ = 1) mertebesini yerleştirmiş; sağa doğru artan kuvvetleri (merâtibü'l-istikbâl), sola doğru ise azalan kesir kuvvetlerini (merâtibü'l-istirdâd) dizmiştir:

... | x⁻⁴ | x⁻³ | x⁻² | x⁻¹ | x⁰ (Aded) | x¹ (Şey) | x² (Mâl) | x³ (Kâ'b) | x⁴ (Mâlü'l-mâl) | x⁵ | ...

Semev'el bu cetvel üzerinden modern matematiğin en temel kuralı olan üslerin toplanması kanununu açıkça formüle etmiştir:

• İki terim çarpıldığında, cetveldeki konumları toplanır: xᵐ · xⁿ = xᵐ⁺ⁿ
• İki terim birbirine bölündüğünde, cetveldeki konumları çıkarılır: xᵐ / xⁿ = xᵐ⁻ⁿ
• Eğer bir terim kendisiyle aynı mertebedeki terime bölünürse netice daima 1 (sayı mertebesi / x⁰) çıkar: xⁿ / xⁿ = x⁰ = 1

Bu keşif, bugün ortaöğretimden üniversite matematiğine kadar her yerde kullanılan üslü sayılar cebrinin ilk eksiksiz formülasyonudur.

Antik dünyada ve erken İslam matematiğinde negatif sayılar bağımsız birer varlık olarak kabul edilmez, yalnızca «eksiltilen miktar» (naks) olarak görülürdü. Semev'el el-Bâhir'de negatif nicelikleri cebirsel işlemlerin meşru bir unsuru olarak tanımlamış ve işaretler kanununu kesin kurallara bağlamıştır:

1. Artının Artı ile Çarpımı (zâid fi zâid): Netice artıdır (+ · + = +).
2. Artının Eksi ile Çarpımı (zâid fi nâkıs): Netice eksidir (+ · - = -).
3. Eksinin Artı ile Çarpımı (nâkıs fi zâid): Netice eksidir (- · + = -).
4. Eksinin Eksi ile Çarpımı (nâkıs fi nâkıs): Netice artıdır (- · - = +).

Semev'el, negatif bir sayının negatif bir sayıyla çarpımının neden pozitif olduğunu cebirsel özdeşlikler üzerinden şöyle ispatlamıştır: (a - b) · (c - d) ifadesini açtığımızda, çarpımın tutarlı kalabilmesi ve eksiltilen miktarların doğru sonuç verebilmesi için (-b) · (-d) = +bd olmak zorundadır.

«Eğer bir noksanlıktan başka bir noksanlığı çıkarırsan, geriye bir fazlalık kalır. Zira borcun silinmesi, mülke kazanç eklemekle eşdeğerdir.» — Semev'el el-Mağribî

Semev'el ayrıca sıfırdan bir pozitif sayı çıkarıldığında negatif bir sayının doğduğunu (0 - a = -a) ve sıfırdan negatif sayı çıkarıldığında pozitif sayının doğduğunu (0 - (-a) = +a) açıkça ifade etmiştir.

el-Bâhir'in en hayret verici başarılarından biri, polinomların birbirine bölünmesi (uzun bölme algoritması) yöntemidir. Semev'el, iki sayıyı basamak basamak böler gibi, dereceleri farklı iki cebirsel ifadeyi birbirine bölmenin tablosunu geliştirmiştir.

Semev'el'in uzun bölme algoritması şu adımları içerir:

• Bölünen ve bölen polinomlar kuvvet cetveline göre en yüksek dereceden en düşüğe doğru sütunlara yazılır.
• En yüksek dereceli terim, bölenin en yüksek dereceli terimine bölünerek bölüm hanesine yazılır.
• Elde edilen bölüm terimi bölen polinomun bütün terimleriyle işaretler kanununa göre çarpılır ve bölünenden çıkarılır.
• Bu işlem kalan polinomun derecesi bölenin derecesinden küçük olana kadar veya sonsuz kesirler dizisi elde edilene kadar tekrarlanır.

Semev'el bu sayede bugün Horner Şeması veya sentetik bölme olarak bilinen yöntemi 12. yüzyılda eksiksiz olarak icra etmiş; hatta bölünmeyen ifadelerde sonsuz kuvvet serileri açılımlarına (Taylor serilerinin ilk öncülerine) kapı aralamıştır.

Modern bilim tarihçileri (başta Roshdi Rashed olmak üzere), matematiksel tümevarım (mathematical induction) ilkesinin ilk bilinçli kullanımını Semev'el el-Mağribî'nin el-Bâhir'inde tespit etmişlerdir.

Semev'el, ilk n sayının küplerinin toplamının, bu sayıların toplamının karesine eşit olduğunu ispatlamak istemiştir:

1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)²

Semev'el bu teoremi şöyle ispatlamıştır:

1. Temel Adım (n = 1 ve n = 2): 1³ = 1 = 1² ve 1³ + 2³ = 1 + 8 = 9 = (1 + 2)². Eşitlik doğrulanır.
2. Geçiş Adımı (n'den n+1'e): Önermenin bir k sayısı için doğru olduğunu kabul edersek, (1 + 2 + ... + k)² ifadesine (k+1)³ eklendiğinde, geometrik ve cebirsel düzenleme ile sonucun (1 + 2 + ... + k + (k+1))² formuna dönüştüğünü gösterir.
3. Genelleme: Kuralın bir sonraki adım için geçerli olduğu ispatlandığına göre, bu zincir sonsuzdaki bütün sayılar için zorunlu olarak doğrudur.

Bu muhakeme, klasik tümevarım ilkesinin (n = 1 için doğru, n = k için doğru ise n = k+1 için de doğru, o halde her n için doğru) tarihteki ilk kusursuz yazılı vesikasıdır.

Semev'el, irrasyonel sayıları (asamm sayılar / köklü ifadeler) tıpkı rasyonel sayılar gibi işleme sokmuştur. Karekök, küpkök ve daha yüksek dereceden köklü ifadelerin çarpımı ve sadeleştirilmesinde binom katsayılarından istifade etmiştir.

Kerecî'nin başlattığı binom üçgenini (bugünkü Pascal Üçgeni) el-Bâhir'de yeniden çizen Semev'el, katsayılar arasındaki toplamsal bağıntıyı formüle etmiştir:

C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)

Semev'el bu üçgen sayesinde (a + b)ⁿ açılımının katsayılarını n = 12'ye kadar bizzat hesaplayıp cetveller halinde vermiştir. Bu cetvelleri kullanarak büyük sayıların yaklaşık karekök ve küpköklerini yüksek hassasiyetle çıkarma algoritmaları geliştirmiştir.

Semev'el el-Mağribî'nin matematikçiliği, onun kelam ve din felsefesi alanındaki şaheseri olan İfhâmü'l-Yehûd (Yahudilere Cevap / Susturucu Deliller) adlı eserine doğrudan yansımıştır. Semev'el, inanç meselelerini tartışırken duygusal veya hamasi bir üslup yerine, bir matematikçinin soğukkanlı metin tenkidi ve mantıksal analiz metodunu kullanmıştır.

Eserin temel argümanları şunlardır:

• Nesh Mefhumunun Mantıki Zorunluluğu: Yahudi teolojisinin «Şeriatta nesh (hüküm değişikliği) imkânsızdır» iddiasını, bizzat Tevrat metinlerinden örneklerle çürütmüştür. Hz. Âdem'den Hz. Nûh'a, Hz. İbrâhim'den Hz. Mûsâ'ya kadar emirlerin zaman ve mekânla değiştiğini, bunun ilahi hikmetin tabiatı olduğunu ispatlamıştır.
• Metin Tahrifinin İstatistiki Tespiti: Babil sürgünü sonrası Ezra (Üzeyr) tarafından yeniden derlenen Tevrat nüshasındaki kronolojik, soy kütüğü ve coğrafi çelişkileri rakamsal olarak ortaya koymuştur.
• Gelecek Peygamberin Müjdeleri: Tevrat ve Zebur metinlerinde geçen "Fâran Dağları" ve "Muhammed" ismine işaret eden lafızları İbranice dilbilgisi ve ebced hesaplarıyla izah etmiştir.

İfhâmü'l-Yehûd, İslam dinler tarihi ve mukayeseli teoloji sahasında yazılmış en etkili ve mantıksal açıdan en tutarlı polemik eserlerinden biri kabul edilir.

Semev'el yalnızca bir matematik dâhisi değil, aynı zamanda Selçuklu coğrafyasında tanınan mâhir bir hekimdi. Tıp sahasında yazdığı el-Müfîd fî Ta'rîfi'l-Hafî mine'l-Emrâz (Gizli Kalan Hastalıkların Teşhisinde Faydalı Kitap) adlı risalesinde, iç organların gizli marazlarını ve bunların teşhis usullerini tahlil etmiştir.

Semev'el'in tıbbi yaklaşımında matematiksel düşünüşün izleri açıktır:

• Dozaj Matematiği: İlaç terkiplerinde müfredatın (tek tek bitkisel maddelerin) oranlarının ve mizaç derecelerinin (birinci, ikinci, üçüncü derece sıcaklık ve kuruluk) kesin riyazi hesaplarla dengelenmesi.
• Nabız ve Zaman Ölçümü: Nabız atışlarının frekansı ve ritmi arasındaki oranların kalbin durumunu ve ateşi göstermedeki matematiksel kesinliği.
• Psikosomatik İrtibat: Ruhi ıstırapların, kaygı ve kederin bedensel hastalıklara yol açtığını bizzat müşahede etmiş; hastalarına ilaç vermeden önce zihinsel teselli ve tefekkür seansları uygulamıştır.

Semev'el tıp sahasında da otorite kabul edilmiş ve devrin hastanelerinde (bîmâristan) başhekimlik seviyesinde takdir görmüştür.

Semev'el el-Mağribî'nin 1175 civarında Merâga yakınlarında vefatının ardından bıraktığı eserler, İslam dünyasında matematiksel düşüncenin en yüksek zirvesini temsil etmiştir. 20. yüzyılın en büyük bilim tarihçilerinden Roshdi Rashed, Semev'el'in cebir tarihindeki yerini şöyle özetler:

«Eğer Hârizmî cebirin babası, Kerecî cebirin aritmetikleştiricisiyse; Semev'el el-Mağribî cebirsel analizin, polinomlar teorisinin ve cebirsel tümevarımın kurucusudur. Onun eserleri olmadan modern cebirin doğuşunu anlamak imkânsızdır.» — Roshdi Rashed

Semev'el'in bilim tarihine katkıları maddeler halinde şöyle özetlenebilir:

1. Polinomlar Aritmetiği: Çok terimli cebirsel ifadelerin toplama, çıkarma, çarpma ve bölme kurallarını eksiksiz kurmuştur.
2. İşaretler Kuralı: Negatif sayıların çarpım ve bölüm kurallarını mantıksal olarak ispatlamıştır.
3. Matematiksel Tümevarım: Önermelerin n mertebesinden n+1 mertebesine intikalini ispat eden ilk riyazi yöntemi geliştirmiştir.
4. Üsler Kanunu: Kuvvet cetvelleri vasıtasıyla üslü sayıların çarpım ve bölüm kurallarını sistemleştirmiştir.

Bağdat'ta başlayıp Merâga'da mühürlenen bu muazzam ilmi hayat, aklın ve riyaziyatın evrensel ufuklarında ebediyen parıldayan bir kutup yıldızıdır.