Kemâleddîn el-Fârisî ve Esâsü'l-Kavâ'id fî Usûli'l-Fevâ'id: Sayılar Teorisi, Dost Sayılar, Asal Çarpanlar ve Kombinatorik Külliyâtı

İslam riyâziye tarihinin en parlak dâhilerinden biri olan Kemâleddîn el-Hasan b. Ali b. el-Hasan el-Fârisî (v. 718/1319), hem optik (ilmü'l-menâzır) hem de soyut sayılar teorisi (ilmü'l-a'dâd) sahasında insanlık düşüncesine silinmez mühürler vurmuş emsalsiz bir allâmedir. İran coğrafyasında doğup büyüyen el-Fârisî, Merâga Rasathanesi'nin tesis ettiği yüksek ilmî iklimin varisi olmuş, Kutbüddîn eş-Şîrâzî'nin talebesi olarak Tebriz ilim meclislerinde riyâzî ilimlerin zirvesine tırmanmıştır.

Fârisî'yi benzerlerinden ayıran en esaslı vasıf, sadece öncüllerinin eserlerini şerh etmekle yetinmeyip, onların bıraktığı matematiksel problemleri kökünden tahlil ederek genelleştirilmiş yepyeni teorik formülasyonlar inşa edebilme dehasıdır. Onun optikte İbnü'l-Heysem'in Kitâbü'l-Menâzır'ını Tenkîhu'l-Menâzır ile kemâle erdirmesi ne kadar büyük bir devrimse, aritmetik ve sayılar teorisinde İbnü'l-Havvâm'ın eserini şerh ederek kaleme aldığı Esâsü'l-Kavâ'id fî Usûli'l-Fevâ'id de matematik tarihi için o kadar abidevî bir dönüm noktasıdır.

«Sayılar âlemi, mülk ve melekût arasındaki hendesî köprünün en latif cevheridir. Zira her sayı, Zât-ı Bârî'nin vahdet tecellîsinin kesret aynasındaki birer nizamî aksettiricisidir.» — Kemâleddîn el-Fârisî

Fârisî, Tebriz'de vezir Reşîdüddîn Fazlullah'ın himayesinde kurulan Rab'-ı Reşîdî külliyesinde riyâzî ilimleri okutmuş, burada Doğu ile Batı arasındaki matematik köprülerinin en muhkem dayanaklarını inşa etmiştir.

Kemâleddîn el-Fârisî'nin Esâsü'l-Kavâ'id eserini telif etmesine zemin hazırlayan âmil, dönemin tanınmış hekim ve riyâziyecisi İbnü'l-Havvâm el-Bağdâdî'nin (ö. 699/1299) Tezkiretü'l-Ahbâb fî 'İlmi'l-Hisâb adlı muhtasar risalesidir. İbnü'l-Havvâm bu eserinde ameli hesap yöntemlerini, kesirleri, cebir işlemlerini ve bazı sayı özelliklerini özetlemişti; ancak pek çok teoremin ispatını zikretmeden geçmiş, meseleleri sonuçları itibariyle bırakmıştı.

Fârisî, hocası Kutbüddîn eş-Şîrâzî'nin teşviki ve kendi ilmî titizliğiyle bu eseri ele almış, metindeki her bir önermenin mantıki ve hendesî ispatını çıkarmak üzere işe koyulmuştur. Ancak çalışma ilerledikçe şerh sınırlarını aşmış; Fârisî, eserin hacmini beş katına çıkararak Öklid'in Elementler'inin yedinci, sekizinci ve dokuzuncu kitaplarında vazettiği aritmetik önermeleri baştan ayağa yeniden kurmuştur.

Böylece Esâsü'l-Kavâ'id, basit bir şerh olmaktan çıkıp İslam dünyasında sayılar teorisi (aritmetik / number theory) alanında yazılmış en kapsamlı, en metodolojik ve en özgün müstakil başyapıtlardan birine dönüşmüştür.

Kemâleddîn el-Fârisî, Esâsü'l-Kavâ'id'de son derece disiplinli bir tümdengelimsel (deductive) metodoloji takip eder. Eserine sayıların ontolojik tanımıyla başlar:

• Vahdet (Birlik): Bütün sayıların aslı ve mebdei olup bizatihi sayı değildir; her sayıyı vareden ilahî ölçüdür.
• Aded-i Müfred (Tek Sayı) ve Aded-i Zevc (Çift Sayı): İkiye tam bölünebilirlik vasfına dayanan temel ontolojik taksimat.
• Aded-i Evvel (Asal Sayı): Yalnızca vahdet (bir) ve kendisi tarafından ölçülebilen, başka hiçbir sayıya bölünmeyen mutlak basit sayılar.
• Aded-i Mürekkeb (Bileşik Sayı): Birden fazla asal sayının çarpımıyla meydana gelen kesret sayıları.
• Mütebâyin (Aralarında Asal Sayılar): Birden başka ortak böleni bulunmayan sayı çiftleri.

Fârisî, bu tanımlardan hareketle her teoremi kendisinden önceki ispatlanmış önermelere bağlar. Bu aksiyomatik titizlik, eseri dönemin diğer pratik hesap risalelerinden (hisâb-ı hevâî veya hisâb-ı hindî) ayırarak saf ve yüksek matematiğin zirvesine yerleştirir.

Modern sayılar teorisinin en mühim kaidelerinden biri, 1'den büyük her tam sayının asal sayıların çarpımı olarak tek bir şekilde (sıralama hariç) yazılabileceğini ifade eden Aritmetiğin Temel Teoremidir (Fundamental Theorem of Arithmetic). Batı matematik tarihinde bu teoremin açık ve eksiksiz ispatı çoğunlukla Carl Friedrich Gauss'un 1801 tarihli Disquisitiones Arithmeticae eserine dayandırılır.

Oysa Kemâleddîn el-Fârisî, Esâsü'l-Kavâ'id'in dokuzuncu makalesinde bu ilkeyi yüzyıllar önce formüle etmiş ve ispatlamıştır. Fârisî şu teoremi vazeder:

«Her mürekkeb (bileşik) sayı, kendisini oluşturan asal çarpanlarına (el-a'dâdü'l-üvel) ayrılabilir ve bu ayrışma tek bir biçimde vaki olur. Bir bileşik sayının bölenleri, ancak ve ancak o sayıyı teşkil eden asal çarpanların muhtelif kuvvetlerinin kombinasyonlarından ibarettir.» — Esâsü'l-Kavâ'id

Fârisî, bu prensibi kanıtlamak için bölenler ve katlar zincirini kurmuş; bir sayının asal çarpanlarına ayrılmasının keyfî olmadığını, sayının zatî mahiyetini teşkil ettiğini matematiksel olarak temellendirmiştir. Bu yaklaşım, dost sayıların ve mükemmel sayıların sistematik araştırmasının kapısını açmıştır.

İki sayıdan her birinin kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı diğer sayıya eşitse, bu sayılara Dost Sayılar (el-A'dâdü'l-Mütehâbbe / Amicable Numbers) denir. Pisagorcuların bildiği yegâne dost sayı çifti (220, 284) idi. 9. yüzyılda Harranlı büyük Müslüman matematikçi Sâbit b. Kurre (ö. 288/901), tarihte ilk defa dost sayı çiftleri üreten bir teorem keşfetmişti:

Eğer n > 1 için $p = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$, $q = 3 \cdot 2^n - 1$ ve $r = 9 \cdot 2^{2n-1} - 1$ sayılarının üçü de asal sayı ise, o takdirde $A = 2^n \cdot p \cdot q$ ve $B = 2^n \cdot r$ sayıları dost sayılardır.

Sâbit b. Kurre bu kuralı $n=2$ için uygulamış ve klasik (220, 284) çiftini elde etmişti. Ancak Sâbit b. Kurre teoremi ortaya koymuş olmakla birlikte, bunun neden çalıştığını ve bölenlerin toplamı fonksiyonu cinsinden genel yapısını tam bir ispat zinciriyle sergilememişti.

Kemâleddîn el-Fârisî, Esâsü'l-Kavâ'id'de Sâbit b. Kurre'nin bu önermesini ele aldı. İspat için ihtiyaç duyduğu 10 adet yardımcı lemmatayı (mukaddime) adım adım inşa etti ve teoremi genel bir bölenler teorisi zeminine oturttu.

Klasik Batı merkezli matematik tarihi kitaplarında yüzyıllarca şöyle yazılmıştır: «Pisagor'un bulduğu (220, 284) çiftinden sonra tarihte keşfedilen ikinci dost sayı çifti (17296, 18416) çiftidir ve bunu 1636 yılında Fransız matematikçi Pierre de Fermat bulmuştur.»

Oysa modern bilim tarihçileri (başta Roshdi Rashed olmak üzere) yazma eserleri tahkik ettiklerinde hakikat bütün çıplaklığıyla ortaya çıkmıştır: Kemâleddîn el-Fârisî, Pierre de Fermat'dan tam 320 yıl önce, 1315 civarında kaleme aldığı Esâsü'l-Kavâ'id'de $n=4$ değerini Sâbit b. Kurre kuralında yerine koyarak:

• $p = 3 \cdot 2^{4-1} - 1 = 3 \cdot 8 - 1 = 23$ (asal)
• $q = 3 \cdot 2^4 - 1 = 3 \cdot 16 - 1 = 47$ (asal)
• $r = 9 \cdot 2^{2(4)-1} - 1 = 9 \cdot 2^7 - 1 = 9 \cdot 128 - 1 = 1151$ (asal)

Değerlerini hesaplamış ve:

• $A = 2^4 \cdot 23 \cdot 47 = 16 \cdot 1081 = 17296$
• $B = 2^4 \cdot 1151 = 16 \cdot 1151 = 18416$

Sayılarının birer dost sayı çifti olduğunu matematiksel olarak ispatlamıştır! Fârisî, bu sayıların bütün öz bölenlerini tek tek listelemiş, toplamlarının karşılıklı olarak birbirini verdiğini satır satır göstermiştir. Fermat'nın yaptığı, Fârisî'nin üç asır önce bulduğu bu çifti yeniden keşfetmekten ibarettir.

Kemâleddîn el-Fârisî'nin sayılar teorisine yaptığı en özgün katkılardan biri, bugün modern matematikte $\sigma(n)$ (bölenlerin toplamı fonksiyonu) ve $d(n)$ (bölenlerin sayısı fonksiyonu) olarak bilinen aritmetik fonksiyonların özelliklerini sistematik biçimde incelemesidir.

Fârisî, bir $N = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$ sayısının bütün bölenlerinin toplamının şu formülle hesaplanacağını açıkça ifade etmiştir:

$$\sigma(N) = \left(1 + p_1 + p_1^2 + \cdots + p_1^{a_1} ight) \left(1 + p_2 + p_2^2 + \cdots + p_2^{a_2} ight) \cdots \left(1 + p_k + p_k^2 + \cdots + p_k^{a_k} ight)$$

Bu formül, fonksiyonun çarpımsallık (multiplicative property) özelliğinin kavrandığını gösterir; zira $\gcd(a, b) = 1$ ise $\sigma(ab) = \sigma(a)\sigma(b)$ bağıntısı Fârisî'nin ispatlarının ana omurgasını teşkil eder. Böylesi bir soyutlama düzeyi, 14. yüzyıl dünyasında benzeri görülmemiş bir riyâzî dehadır.

Bir sayının bölenlerinin sayısını ve toplamını bulmak, temelde bir kombinasyon problemidir. Kemâleddîn el-Fârisî, asal çarpanların muhtelif kuvvetlerinin bir araya gelme biçimlerini incelerken kombinatorik (tahlîl-i i'tilâfî) prensiplerden yararlanmıştır.

Aynı çağda Mağrib'de İbnü'l-Bennâ el-Merrâküşî'nin geliştirdiği kombinatorik analizlerle Fârisî'nin Merâga ve Tebriz'deki çalışmaları birbirini tamamlayan iki büyük kutup gibidir. Fârisî, n adet nesneden k adedinin seçilme yollarını sayısal tablolar halinde analiz etmiş, çarpan ağaçları kurarak olasılık ve kombinasyon matematiğinin İslam dünyasındaki zenginleşmesine büyük katkı sağlamıştır.

Bu yaklaşım, cebirsel denklemlerin köklerinin aranmasında ve astronomik cetvellerin (zîclerin) interpolasyon hesaplarında kullanılan kombinatorik araçların temelini güçlendirmiştir.

Kemâleddîn el-Fârisî'nin hem dünya optik tarihinin en büyük şaheserlerinden biri olan Tenkîhu'l-Menâzır'ı, hem de sayılar teorisinin zirvesi Esâsü'l-Kavâ'id'i aynı zihin dünyasında inşa etmiş olması rastlantı değildir.

Fârisî için ışık (nûr), kesintisiz geometrik doğrular boyunca yayılan fiziksel bir hakikat olduğu gibi; sayılar da kesret âlemini tanzim eden soyut ışık demetleridir. Gökkuşağının (kavs-i kuzah) küresel su damlacıklarında iki defa kırılıp bir defa yansımasını deney tüpleri ve karanlık oda ile ispatlayan deneysel titizlik; dost sayıların asal çarpanlarını tek tek denetleyen aksiyomatik titizlikle birebir aynı ilmî ahlakın mahsulüdür.

Fârisî, ilmi parçalamamış; fiziksel optik ile soyut aritmetiği vahdet-i vücûd ve hikmet-i meşşâiyye zemininde buluşturarak İslâm düşüncesinin en kâmil sentezlerinden birini armağan etmiştir.

Kemâleddîn el-Fârisî'nin Esâsü'l-Kavâ'id'de ortaya koyduğu bulgular, İslam dünyasında Muhammed Bâkır Yezdî (ö. 1637 civarı) gibi sonraki riyâziyeciler tarafından devam ettirilmiş; Yezdî $n=5$ için (9363584, 9437056) çiftini bularak Fârisî mektebini daha da ileri taşımıştır.

Batı dünyasında ise 17. yüzyılda René Descartes ve Pierre de Fermat, ardından 18. yüzyılda Leonhard Euler dost sayılar teorisini yeniden canlandırmışlardır. Euler 60'tan fazla dost sayı çifti keşfetmiştir; ancak bu devlerin kullandığı teorik omurga, Fârisî'nin Sâbit b. Kurre kuralını genelleştirirken kurduğu lemmatalar ve bölenler fonksiyonu mekanizmasıyla tam bir mantıki akrabalık içindedir.

Kemâleddîn el-Fârisî, modern sayılar teorisinin temellerinin Rönesans Avrupa'sında değil, 14. yüzyılın başında Tebriz ve Merâga medreselerinde atıldığının en parlak, en inkâr edilemez tarihî şahididir.