Kâdîzâde-i Rûmî ve Risâle fi'l-Ceyb: Semerkant Matematik Mektebi, Sinüs 1 Derecenin Hesabı ve İteratif Çözüm Külliyâtı

Osmanlı Devleti'nin ilk başkenti Bursa'da doğup yetişen Salâhuddîn Mûsâ b. Muhammed el-Kâdîzâde-i Rûmî (v. 844/1440 civarı), Osmanlı ilim havzasının Semerkant Rönesansı ile kurduğu en muazzam köprüdür. Bursa Kadısı Mahmûd Efendi'nin oğlu olan Kâdîzâde, genç yaşta Molla Fenârî'den aklî ve naklî ilimleri tahsil etmiş; riyâziye ve astronomideki derin iştiyakı onu dönemin dünya ilim başkenti Semerkant'a yöneltmiştir.

Semerkant'a varışıyla birlikte Timur'un torunu, büyük astronom ve hükümdar Uluğ Bey'in takdirini kazanan Kâdîzâde, Semerkant Medresesi'nin başmüderrisliğine ve inşasına başlanan Semerkant Rasathanesi'nin ilmî riyasetine getirilmiştir. Gıyâseddîn Cemşîd el-Kâşî ve Muînüddîn-i Kâşî ile birlikte kurduğu çalışma meclisi, İslam felekiyyât ve riyâziyesinin tarihteki en muhteşem zirvesini vücuda getirmiştir.

«İlim talebinde bulunan kimse için memleket sınırı yoktur; hakikatin peşinde koşan akıl, Semerkant'ın göklerinde fezayı temaşa eyler.» — Kâdîzâde-i Rûmî

Kâdîzâde, sadece büyük bir teorisyen değil, talebesi Uluğ Bey'e ve Ali Kuşçu'ya ilmî hürriyet ve tavizsiz hakikat aşkı aşılayan büyük bir ahlak ve irfan abidesidir.

15. yüzyıl Semerkant'ı, dünya bilim tarihinde eşine az rastlanır bir ilmî seferberliğe sahne olmuştur. Uluğ Bey'in Kûhek tepesinde inşa ettirdiği üç katlı devasa rasathane, yarıçapı 40 metreyi bulan mermer Fahrî sekstantı ile donatılmıştı. Bu devasa aletler, açısal ölçümlerde dakikaları ve saniyeleri benzeri görülmemiş bir hassasiyetle yakalama imkânı veriyordu.

Ancak rasat aletlerinin hassasiyeti tek başına kâfi değildi; bu gözlemlerden elde edilen ham verileri işleyecek kusursuz bir matematiksel aygıta, yani yüksek trigonometriye ihtiyaç vardı. Zîc-i Uluğ Bey'in hazırlanması sürecinde, gök cisimlerinin koordinatlarını hesaplamak için her bir yay derecesinin ve dakikasının sinüs değerlerinin hatasız bilinmesi zorunluydu.

İşte Kâdîzâde-i Rûmî ve çalışma arkadaşı Gıyâseddîn Cemşîd el-Kâşî, bu astronomik ihtiyacı karşılamak üzere tarihin en parlak trigonometri araştırmalarını başlatmışlardır.

Klasik astronomide ve trigonometride en büyük teorik çıkmazlardan biri $\sin(1^\circ)$ değerinin tam olarak nasıl hesaplanacağı meselesiydi. Batlamyus ve öncelleri, yarım açı ve toplam-fark formüllerini kullanarak $72^\circ$, $60^\circ$, $30^\circ$, $15^\circ$, $7.5^\circ$ gibi yayların kirişlerini tam olarak geometrik yoldan bulabiliyorlardı.

Ancak $3^\circ$'lik bir yayın ($7.5^\circ - 4.5^\circ$) sinüsü bilindiği halde, bunu üçe bölerek (trisection of an angle) doğrudan $1^\circ$'lik yayın sinüsüne ulaşmak cetvel ve pergel geometrisiyle imkânsızdı. Zira bir açının üçe bölünmesi problemi, üçüncü dereceden cebirsel bir denkleme yol açıyordu ve Öklidyen yöntemlerle çözülemiyordu.

Kâdîzâde-i Rûmî, bu tarihsel düğümü çözmek amacıyla müstakil bir eser kaleme aldı: Risâle fi'stihrâci Ceybi Derecetin Vâhidetin bi-A'mâlin Müessesen 'alâ Kavâ'ide Hendesiyyetin ve Hisâbiyyetin (kısaca Risâle fi'l-Ceyb). Bu eser, $\sin(1^\circ)$ problemini hem hendesî hem cebirsel olarak nihai çözüme kavuşturan anıtsal bir risaledir.

Batlamyus, Almagest'te $1^\circ$'lik kirişi bulamadığı için $1.5^\circ$ ve $0.75^\circ$'lik kirişler arasında doğrusal interpolasyon (kıyas) yapmıştı. Bu yöntem küçük bir hata payı içeriyordu ve bu hata, gezegen yörünge modelleri gibi uzun vadeli gök hareketlerinde zamanla büyüyerek ciddi koordinat kaymalarına yol açıyordu.

Ebû'l-Vefâ el-Bûzcânî ve Bîrûnî gibi İslam astronomları bu hatayı küçültmek için muhtelif parabolik interpolasyonlar ve trigonometrik eşitsizlikler geliştirmişlerdi. Ancak Kâdîzâde ve el-Kâşî, yaklaşık yaklaşımlarla yetinmeyi reddederek meseleyi analitik bir denklem problemi olarak vazettiler.

Bir açının üçe bölünmesi probleminin geometrik pergel kısıtlamalarını aşan Kâdîzâde, yaylar arasındaki hendesî bağıntıyı cebirsel bir eşitliğe dönüştürerek modern trigonometrinin temellerini atmıştır.

Kâdîzâde-i Rûmî, Risâle fi'l-Ceyb'de önce bir çember içine çizilen kirişler arasındaki geometrik oranları tahlil eder. Bir dairede aynı yayı gören kirişler ve benzer üçgenler üzerinden şu temel trigonometrik özdeşliği inşa eder:

$$\sin(3lpha) = 3\sin(lpha) - 4\sin^3(lpha)$$

Burada $lpha = 1^\circ$ alındığında, $3lpha = 3^\circ$ olur. $3^\circ$'lik yayın sinüsü daha önceki bilinen geometrik yaylardan ($72^\circ - 60^\circ = 12^\circ$; ardışık yarım açı indirimleriyle $6^\circ$ ve $3^\circ$) tam olarak hesaplanabilmektedir. Bilinmeyen $\sin(1^\circ)$ değerine $x$ denilirse ve bilinen $\sin(3^\circ)$ değerine $a$ denilirse, denklem şu hale gelir:

$$4x^3 - 3x + a = 0 \quad ext{veya} \quad x = rac{a + 4x^3}{3}$$

Bu, üçüncü dereceden (kübik) bir cebir denklemidir. Kâdîzâde, bu denklemi çözmek için o devirde dünyada bilinen hiçbir analitik formül bulunmadığını biliyordu (Cardano formülü bundan bir asır sonra çıkacaktır). İşte tam bu noktada Kâdîzâde'nin dehası devreye girmiştir.

Kâdîzâde-i Rûmî, $x = rac{a + 4x^3}{3}$ denklemini çözmek için tarihte ardışık yaklaşımlar (iterasyon / fixed-point iteration) olarak bilinen muazzam bir sayısal algoritma kurmuştur.

Algoritmanın işleyişi şöyledir:

1. İlk tahmin olarak $x_0 pprox rac{a}{3}$ alınır (zira $x$ çok küçük bir açı olduğundan $4x^3$ terimi başlangıçta ihmal edilebilir).
2. Bu $x_0$ değeri denklemdeki $4x^3$ terimine konularak ikinci ve daha hassas bir $x_1$ değeri elde edilir: $x_1 = rac{a + 4x_0^3}{3}$.
3. Elde edilen $x_1$ değeri tekrar yerine konularak $x_2 = rac{a + 4x_1^3}{3}$ hesaplanır.
4. Bu işlem her adımda bir sonrakine aktarılarak devam ettirilir. Kâdîzâde, her adımda hatanın kübik olarak küçüldüğünü ve sonucun hızla gerçek köke yakınsadığını göstermiştir.

Bu yöntem, bugün bilgisayar bilimlerinde ve sayısal analizde kullanılan iterasyon algoritmalarının 15. yüzyıldaki en kusursuz örneğidir.

Kâdîzâde-i Rûmî'nin bu çözümü, Semerkant Rasathanesi'ndeki diğer matematik dehası Gıyâseddîn Cemşîd el-Kâşî'nin Risâletü'l-Veter ve'l-Ceyb adlı çalışmasıyla doğrudan irtibatlıdır. İki âlim rasathane çatısı altında aynı problemi müzakere etmiş, el-Kâşî kendi geliştirdiği altmışlık sayı tabanındaki iterasyon tablosuyla, Kâdîzâde ise hendesî ve cebirsel temellendirmeleriyle meseleyi tahkik etmişlerdir.

Kâdîzâde'nin Risâle fi'l-Ceyb'i, el-Kâşî'nin vefatından sonra Uluğ Bey'in isteği üzerine kaleme alınmış; el-Kâşî'nin kapalı bıraktığı bazı hendesî noktaları açıklığa kavuşturarak öğrencilerin ve rasat heyetinin anlayabileceği berrak bir metne dönüştürmüştür.

Bu iki büyük beynin ortak mesaisi sayesinde Zîc-i Uluğ Bey'deki sinüs cetvelleri 1 dereceden 90 dereceye kadar her bir yay dakikası için altmışlık tabanda beş basamağa (ondalık sistemde yaklaşık 9-10 basamağa) kadar sıfır hatayla tanzim edilmiştir.

Kâdîzâde ve Semerkant mektebinin ulaştığı $\sin(1^\circ)$ değeri, altmışlık sistemde (sexagesimal) derece, dakika, saniye, sâlise, râbia ve hâmise mertebelerine kadar hesaplanmıştır:

$$\sin(1^\circ) = 0^\circ \; 1' \; 2'' \; 49''' \; 43'''' \; 11''''' \; 14'''''' \; 44'''''''$$

Bu değer modern ondalık kesirler sistemine çevrildiğinde:

$$\sin(1^\circ) pprox 0.01745240643728351...$$

Olarak karşımıza çıkar. Kâdîzâde'nin Semerkant'ta 1430'larda ulaştığı bu değer, modern süper bilgisayarlarla yapılan hesaplamalarla karşılaştırıldığında virgülden sonraki 16-17 basamağa kadar bütünüyle doğrudur!

Bu akıl almaz hassasiyet, Güneş, Ay ve gezegen tutulmalarının dakikası dakikasına önceden tahmin edilmesini sağlamış; Uluğ Bey Zîci'ni iki asır boyunca dünya gemiciliğinin ve astronomisinin en güvenilir rehberi kılmıştır.

Kâdîzâde-i Rûmî'nin vefatından sonra Semerkant'taki ilmî miras, en parlak talebesi Ali Kuşçu tarafından Fatih Sultan Mehmed devrinde İstanbul'a taşınmıştır. Ali Kuşçu, Kâdîzâde'nin hem Şerhu Eşkâli't-Te'sîs adlı hendese kitabını hem de Risâle fi'l-Ceyb'ini Osmanlı medreselerinin müfredatına yerleştirmiştir.

Kâdîzâde'nin torunu ve Ali Kuşçu'nun da torunu olan büyük Osmanlı riyâziyecisi Mîrim Çelebi (Mahmûd b. Mehmed, ö. 931/1525), dedesinin Risâle fi'l-Ceyb'ine Düstûrü'l-'Amel ve Tashîhü'l-Cedvel adıyla harikulade bir şerh yazmıştır. Mîrim Çelebi bu şerhte dedesinin iterasyon metodunu genişletmiş, cetvellerin tashihinde kullanılan alternatif algoritmaları sergilemiştir.

Böylece Kâdîzâde'nin açtığı çığır, Osmanlı Devleti'nin mühendislik, topçuluk, haritacılık ve muvakkithane geleneklerinin matematiksel belkemiği haline gelmiştir.

Avrupa'da açının üçe bölünmesi ve kübik denklemler yoluyla trigonometrik cetvel hesabı ancak 16. yüzyılın sonunda François Viète (1540–1603) ve 17. yüzyılda Isaac Newton (1643–1727) tarafından ele alınabilmiştir. Newton'un geliştirdiği Newton-Raphson teğetler yöntemi, Kâdîzâde'nin Risâle fi'l-Ceyb'de uyguladığı ardışık yaklaşımlar mantığının kalkülüs diliyle ifadesinden başka bir şey değildir.

Kâdîzâde-i Rûmî, Bursa'da yeşeren tefekkür tohumlarını Semerkant rasathanesinin gök kubbesinde meyveye durduran; cebir ile hendeseyi, rasat ile soyut analizi bir potada eriten evrensel bir dehadır.

Onun Risâle fi'l-Ceyb'i, Müslüman zihnin tabiatın nizamını kavramak için matematiğin sınırlarını nasıl zorladığının ve insanlık medeniyetine nasıl yön verdiğinin en muhteşem delillerinden biridir.