Gıyâseddîn Cemşîd el-Kâşî ve Risâletü'l-Muhîtiyye: Pi Sayısı, Trigonometri ve Kozmik Astronomi Külliyatı

Gıyâseddîn Cemşîd b. Mes'ûd el-Kâşî (781-832 / 1380-1429 civarı), İran'ın Kâşân şehrinde doğmuş, İslâm medeniyetinin ve dünya matematik tarihinin en büyük hesap dâhilerinden biridir. Yoksulluk içinde geçen gençlik yıllarında ay ve güneş tutulmalarını rasat etmiş, astronomik takvimler hazırlamıştır.

Semerkant'ta Uluğ Bey'in kurduğu rasathâne için davet edilen Kâşî, oraya vardığında matematik ve hendesedeki benzersiz kabiliyetiyle derhal dikkatleri çekmiştir. Uluğ Bey onun hakkında Zîc'in mukaddimesinde şöyle yazmıştır: 'Kâşân'dan gelen Gıyâseddîn Cemşîd, eski ve yeni riyâziyyatçıların çözemediği en çetin müşkillâtı çözen, aklî ilimlerde asrımızın eflâtunu olan bir allâmedir.' Kâşî, Semerkant Rasathânesi'nin ilk müdürü olarak tayin edilmiştir.

Kâşî'nin 1424 yılında Semerkant'ta tamamladığı er-Risâletü'l-Muhîtiyye (Çevre Risalesi), matematik tarihinin en büyük anıtlarından biridir. Bu eserin gayesi, dairenin çevresinin çapına oranını ($2\pi$) öyle bir hassasiyetle hesaplamaktır ki, 'Faraza yarıçapı Dünya ile Güneş arasındaki mesafe kadar olan devasa bir çemberin çevresi hesaplansa, yapılacak hata kalınlığı bir at kılının onda birini geçmesin.'

Kâşî, dairenin içine ve dışına $3 imes 2^{28}$ kenarlı (yani tam 805.306.368 kenarlı) düzgün çokgenler çizerek Archimedes yöntemini zirveye taşımıştır. Altmışlık sistemde elde ettiği değeri ondalık sisteme çevirmiş ve Pi sayısını şu şekilde bulmuştur: Bu hesaplama, virgülden sonra tam 16 ondalık basamağa kadar kusursuzdur! Batı dünyası bu hassasiyete ancak 1596'da Ludolph van Ceulen ile (neredeyse iki asır sonra) ulaşabilmiştir.

Bugün lise ve üniversite trigonometri kitaplarında Kosinüs Teoremi ($a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$) olarak okutulan bağıntı, Fransız matematik literatüründe hâlen Théorème d'Al-Kashi (Kâşî Teoremi) adıyla anılmaktadır.

Kâşî, Risâletü'l-Veter ve'l-Ceyb (Kiriş ve Sinüs Risalesi) adlı eserinde üçgenlerin açı ve kenar bağıntılarını çözmüş; üçüncü dereceden denklemleri iteratif numerik analizle çözerek $sin 1^\circ$ değerini virgülden sonra 17 basamağa kadar hesaplamıştır. Bu yöntem, Newton-Raphson iterasyon yönteminin 250 yıl evvelki habercisidir.

Kâşî'nin 1427'de tamamlayıp Uluğ Bey'e ithaf ettiği Miftâhu'l-Hisâb (Aritmetiğin Anahtarı), İslâm dünyasında yazılmış en kapsamlı, sistemli ve pedagojik matematik kitabıdır. Beş ana kitaptan oluşan eserde tamsayılar, kesirler, astronomik seksagesimal hesaplar, arazi ve bina ölçüm hendesesi ve cebir konuları yer alır.

Kâşî bu eserde kök alma algoritmalarını geliştirmiş; n'inci dereceden kök alma (karekök, küpkök, dördüncü ve beşinci dereceden kökler) kurallarını Pascal Üçgeni katsayılarını (Binom açılımı) kullanarak sistematize etmiştir. Oysa Pascal bu üçgeni iki buçuk asır sonra neşretmiştir.

Matematik tarihinde ondalık kesirleri (0.5, 3.14 gibi) ilk defa sistemli bir kurallar bütünü haline getiren ve dört işlemi ondalık basamaklarla yürüten kişi Gıyâseddîn Cemşîd el-Kâşî'dir.

Kâşî, Miftâhu'l-Hisâb'da şöyle der: 'Astronomların kullandığı altmışlık kesirlerin zorluğunu gördüm. Tamsayılar gibi kolayca toplanıp çıkarılabilen, çarpılıp bölünebilen ondalık kesirler sistemini (el-küsûrü'l-aşeriyye) icat ettim.' Batı'da bu sistemin kurucusu sayılan Simon Stevin'in 1585'teki kitabından çok evvel Kâşî bu kuralları mükemmelen uygulamıştır.

Kâşî sadece teorik matematikçi değil, dâhi bir alet mucididir. Tasarladığı Tabakü'l-Menâtık (Gezegen Dürbünlü Tablası), gezegenlerin gökyüzündeki anlık boylamlarını, enlemlerini, retro (geri) hareketlerini ve tutulma zamanlarını karmaşık hesap cetvellerine gerek kalmadan mekanik dişliler ve disklerle anında gösteren bir analog bilgisayardır.

Bu alet sayesinde bir astronom, saatlerce sürecek gök mekaniği hesaplarını tek bir çark dönüşüyle birkaç dakikada tespit edebiliyordu.

Miftâhu'l-Hisâb'ın dördüncü cildi, mimarî hendeseye ayrılmıştır. Kâşî, İslâm mimarisinin en büyüleyici unsurları olan kemerlerin, kubbe eğrilerinin ve bilhassa mukarnasların (stalaktit tonozların) yüzey alanlarını ve hacimlerini integral benzeri dilimleme yöntemleriyle hesaplamıştır.

Bu geometrik tahliller, Semerkant medreselerinin, Şâh-ı Zinde türbelerinin ve daha sonra Osmanlı camilerinin akustik ve statik dengelerinin matematiksel garantisi olmuştur.

Kâşî'nin Kâşân'daki babasına yazdığı mektuplar, Semerkant Rasathânesi'nin günlük bilimsel atmosferini tasvir eden paha biçilmez tarihî vesikalardır. Mektuplarında Uluğ Bey'in ilim aşkını, rasathânedeki 60'ı aşkın âlimin gece gündüz çalışmasını ve liyakate verilen kıymeti anlatır.

1429 yılında rasathânede çalışırken genç yaşta vefat eden Gıyâseddîn Cemşîd el-Kâşî, arkasında matematikte aşılamayan dünya rekorları ve İslâm medeniyetinin hesap ufkunu bırakmıştır.

Gıyâseddîn Cemşîd, Semerkant'a gelmeden evvel Nasîrüddîn-i Tûsî'nin Merâga Rasathânesi'nde hazırladığı Zîc-i İlhânî'yi tashihe koyulmuş ve Zîc-i Hâkānî fî Tekmîli Zîci'l-İlhânî adlı şaheserini tamamlamıştır.

Kâşî, Merâga cetvellerindeki sapmaları yeni matematiksel formüllerle düzeltmiş; gezegenlerin apoje boylamlarını, ekliptik meyil açılarını ve Ay'ın enlem salınımlarını yeniden hesaplamıştır. Bu eser, Uluğ Bey'in Semerkant Rasathânesi'nin teorik temelini oluşturmuştur.

Gıyâseddîn Cemşîd için matematik, kâinatın Yaratıcısı'nın geometri sanatını tefekkür etme ibadetiydi. Çemberin sonsuz kenarlı bir çokgen olarak daireye yaklaşması gibi, insanın da sonsuz marifet yolculuğunda Hakîkat-i Mutlaka'ya yaklaşabileceğini beyan ederdi.

Virgülden sonraki 16 basamak, sayılardaki intizamın tesadüf eseri olmadığını; atom altı zerreciklerden Samanyolu galaksilerine kadar her zerrenin hassas bir mizanla (Kamer Sûresi 49. âyet: 'Şüphesiz Biz her şeyi bir ölçüyle yarattık') yaratıldığını ispat eden riyâzî bir şehadettir.

Gıyâseddin Cemşîd el-Kâşî, Miftâhu'l-Hisâb adlı abidevî eserinde ondalık kesirleri (kesr-i a'şârî) ilk defa sistematik ve kuramsal bir biçimde dünya matematiğine kazandırmıştır. Simon Stevin'den yaklaşık 160 yıl önce, tam sayılarla yapılan toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin virgülden sonraki kesir basamaklarında da aynen geçerli olduğunu ispat etmiştir.

Bu buluş sadece teorik bir kolaylık getirmemiş; Semerkand Rasathânesi'nde hesaplanan gök cisimlerinin yörünge eğimlerini, ekliptik koordinatları ve saniyelerin altındaki açısal sapmaları saniyenin altıda biri hassasiyetinde kaydetmeyi mümkün kılmıştır. Kâşî, matematiğin bir soyutlama değil, kâinattaki ilâhî hendeseyi okuma anahtarı olduğunu her satırında vurgulamıştır.

Kâşî'nin dehasının zirvesi, er-Risâletü'l-Veter ve'l-Ceyb adlı ince risalesidir. Trigonometri tarihinde asırlarca çözülemeyen '1 derecelik yayın sinüsünü (Sin 1°)' hesaplamak için üçüncü dereceden cebirsel bir denklem (üç kat açı formülü: Sin 3x = 3 Sin x - 4 Sin³ x) kurmuş ve bu denklemi kendi geliştirdiği ardışık yaklaşımlar (itirasyon) yöntemiyle çözmüştür.

Elde ettiği değer ondalık sistemde 0.017452406437283571 olarak bugünkü modern bilgisayar hesaplamalarıyla 17 basamağa kadar birebir örtüşmektedir. Bu başarı, Batı dünyasında ancak François Viète ve Newton döneminde yakalanabilmiş bir analitik zaferdir.