Ebû'l-Vefâ el-Bûzcânî ve el-Mecistî: Küresel Trigonometri, Sinüs Teoremi, Tanjant Tabloları ve Astronomi Külliyâtı

Ebû'l-Vefâ Muhammed b. Muhammed b. Yahyâ el-Bûzcânî (1 Ramazan 328 / 10 Haziran 940 – 388 / 998 civarı), Horasan ile Herat arasındaki Bûzcân kasabasında doğmuş; amcası Ebû Amr el-Mugāzilî ve Ebû Abdullah Muhammed b. Anbese gibi aile büyüklerinden temel riyaziyat tahsil etmiştir. 959 yılında 19 yaşında hilafet merkezi Bağdat'a gelerek kısa sürede devrin en büyük matematikçi ve astronomları arasında yerini almıştır.

Büveyhî hükümdarları Adudüddevle, Samsâmüddevle ve Şerefüddevle'nin büyük teveccüh ve himayesine mazhar olan Ebû'l-Vefâ; sarayda kurulan ilmî heyetlere riyaset etmiş, Bağdat'ta Bâbü't-Tâk mevkiinde bizzat rasathâne tesis ederek gökyüzünü rasat etmiştir. Zarafeti, tevazuu ve cömertliğiyle tanınan Bûzcânî, aynı zamanda genç Bîrûnî ile mektuplaşarak Harezm ve Bağdat arasında eşzamanlı Ay tutulması gözlemleri organize etmiştir.

«Trigonometriyi astronominin gölgesinden çıkarıp müstakil bir matematik disiplini kılan, kirişler yerine dik üçgenlerin oranlarını (sinüs, tanjant, sekant) koyan dâhi Ebû'l-Vefâ el-Bûzcânî'dir.» — George Sarton

988 yılında Büveyhî emîri Şerefüddevle'nin emriyle Bağdat sarayının bahçesinde kurulan rasathânede Ebû'l-Vefâ; Bîjen b. Rüstem Kûhî, Ebû İshak es-Sâbî ve diğer seçkin astronomlarla birlikte çalışmıştır. Burada yarıçapı 6 metreyi aşan devasa pirinç sekstantlar ve kadranlarla Güneş'in bahar ve sonbahar ekinokslarını tespit etmişlerdir.

Bûzcânî'nin gözlemleri, ekliptik eğikliğini (meyl-i küllî) 23° 35' gibi son derece dakik bir değerle ölçmüş; Güneş'in enöte (evc) noktasının yıllık hareketini ve mevsimlerin sürelerindeki küçük sapmaları belgelemiştir. Bu rasatlar, daha sonra kaleme alacağı ez-Zîcü'ş-Şâmil ve ez-Zîcü'l-Vâzıh adlı tabloların temelini teşkil etmiştir.

Ebû'l-Vefâ'nın en mühim astronomi eseri, Batlamyus'un ünlü eserine nazire olarak aynı isimle andığı el-Mecistî'dir (Kitâbü'l-Mecistî). Ancak bu eser Klasik Yunan Almagest'inin basit bir tercüme veya özeti olmayıp; Batlamyus'un Menelaos teoremine dayanan hantal kiriş (chord) matematiğini tamamen terk ederek küresel trigonometriyi sinüs ve tanjant temeline oturtan bağımsız bir başyapıttır.

Bûzcânî, Batlamyus'un geosantrik episikl (döngü) ve eksantrik (dışmerkezli) modellerindeki riyazi tutarsızlıkları teşhir etmiş; gezegenlerin görünen hızlarındaki eşitsizlikleri hesaplamak için yeni geometrik lemmalar geliştirmiştir.

Trigonometri tarihinin en büyük dönüm noktalarından biri Küresel Sinüs Teoremi'nin (Law of Sines) keşfidir. Ebû'l-Vefâ'dan önce küresel üçgenlerin çözümü, Menelaos Teoremi ve karmaşık altı nicelik kuralı (kāide-i meknûne) ile yapılıyordu; bu da sayfalarca süren yorucu kiriş hesapları gerektiriyordu.

Ebû'l-Vefâ el-Bûzcânî (ve çağdaşı Ebû Nasr İbn Irâk ile Hucendî), küresel bir üçgende kenarların sinüslerinin, karşılarındaki açıların sinüslerine oranının sabit olduğunu ispatlamıştır:

$$\frac{\sin a}{\sin A} = \frac{\sin b}{\sin B} = \frac{\sin c}{\sin C}$$

Bûzcânî'nin el-Mecistî'de sunduğu geometrik ispat, küre merkezinden üçgenin köşelerine çizilen dikmeler ve düzlem kesitleri üzerinden kurulmuş kusursuz bir riyazi şaheserdir.

Kadim dünyada tanjant ve kotanjant yalnızca güneş saatlerinde dikey veya yatay bir gnomonun (mil) gölgesini ölçmek için kullanılan ampirik cetvellerdi. Ebû'l-Vefâ, bunları birim çember üzerinde sinüs gibi müstakil birer trigonometrik fonksiyon haline getirmiştir:

• ez-Zıllü'l-Mebsût (Yatay Gölge / Kotanjant): $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$
• ez-Zıllü'l-Ma'kūs / el-Müntasab (Dikey Gölge / Tanjant): $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

Ebû'l-Vefâ, tanjant ve kotanjant cetvellerini trigonometrik özdeşliklerle birleştirerek dik açılı küresel üçgenlerde meşhur formülleri kurmuştur: $\sin a = \tan b \cdot \cot B$. Bu buluş, kıble tayini ve namaz vakitleri hesaplarını dakikalara indirmiştir.

Ebû'l-Vefâ el-Bûzcânî, astronomi tarihinde o güne kadar görülmemiş hassasiyette trigonometrik cetveller hazırlamıştır. Çemberin yarıçapını $R = 60$ (altmışlık sistemde sexagesimal) alarak her 15 dakikalık ($15'$) yay aralığı için sinüs ve tanjant değerlerini hesaplamıştır.

Bunun için yarım derecenin ($\sin 30'$) sinüsünü hesaplamada çığır açan bir parabolik interpolasyon metodu geliştirmiştir. Onun bulduğu $\sin 30' = 0^{\circ} 31' 24'' 55''' 54''''$ değeri, modern sekiz basamaklı ondalık hesaba vurulduğunda milyonda bir hata payına dahi sahip değildir. Bu cetveller asırlarca doğuda ve batıda astronomların temel başvuru kaynağı olmuştur.

Ebû'l-Vefâ, trigonometri terminolojisine «Kātı'» (kesen / sekant) ve «Kātıu't-Tamâm» (kosekant) kavramlarını ilk defa sokan matematikçidir. Çemberin merkezinden tanjant doğrusunun ucuna uzatılan hipotenüs doğrusunu tanımlayarak modern trigonometrinin altı temel fonksiyonunu tamamlamıştır:

• $\sec \theta = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1}{\cos \theta}$
• $\csc \theta = \sqrt{1 + \cot^2 \theta} = \frac{1}{\sin \theta}$

Ayrıca iki açının toplam ve farklarının sinüs formüllerini geometrik olarak ispatlamıştır: $\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$. Yarım açı formülü $\sin^2(a/2) = \frac{1 - \cos a}{2}$ de Bûzcânî'nin eserlerinde açıkça yer alır.

19. yüzyılda Fransız matematik tarihçisi L. A. Sédillot, Bûzcânî'nin el-Mecistî nüshalarını incelerken, onun Ay'ın yörüngesinde Güneş'in çekim tesirinden kaynaklanan ve Batı dünyasında Tycho Brahe'ye (1546–1601) mal edilen «üçüncü ay düzensizliğini» (variation / ihtilâf-ı sâlis) Brahe'den 600 yıl önce keşfettiğini ileri sürmüştür.

Her ne kadar Carra de Vaux ve Delambre gibi diğer bilginler bu metnin Bûzcânî'nin özgün bir yerçekimsel pertürbasyon teorisi mi yoksa Batlamyus'un prosneusis hareketinin bir düzeltmesi mi olduğu konusunda tartışmışlarsa da; Ebû'l-Vefâ'nın Ay'ın dördün ve sekizinci evrelerindeki hız sapmalarını olağanüstü bir dakiklikle tespit ettiği kesinleşmiştir.

Ebû'l-Vefâ sadece soyut bir teorisyen değil, aynı zamanda geometriyi mimarların, mozaik ustalarının ve zanaatkârların hizmetine sunan büyük bir amelî hendese üstadıdır. Onun Kitâb fî Mâ Yahtâcu İleyhi's-Sâni' min A'mâli'l-Hendese (Zanaatkârın Geometriden İhtiyaç Duyduğu Şeyler) adlı eseri, İslam sanatında kündekâri, mukarnas, girih ve geometrik desenlerin riyazi anayasasıdır.

Bu eserde sadece sabit açıklıklı bir pergel (pascal çizgisi gibi tek açıklıklı pergel) ve bir cetvel kullanarak:

1. Daire içine düzgün yedigen (heptagon) ve dokuzgen (nonagon) yaklaşık çizimleri,
2. Karelerin bölünerek yeni kareler oluşturulması (fraktal alan koruma),
3. Platonik katı cisimlerin ve küre yüzeyinde düzgün çokgenlerin inşası izah edilmiştir.

Ebû'l-Vefâ el-Bûzcânî'nin 998 yılında Bağdat'ta vefatının ardından geride bıraktığı riyazi miras, öğrencileri ve takipçileri vasıtasıyla bütün medeniyet havzalarına yayılmıştır. Bîrûnî, el-Kānûnü'l-Mes'ûdî'de Ebû'l-Vefâ'yı «Trigonometri ilminin pîri ve rehberi» olarak anar.

Batı dünyasında 15. yüzyılda Johannes Müller (Regiomontanus) tarafından yazılan ve Avrupa'da trigonometriyi bağımsız bir disiplin kılan De Triangulis Omnimodis (Her Türlü Üçgenler Üzerine) adlı eser, doğrudan Bûzcânî ve Tûsî'nin Arapça eserlerinin tercüme ve intikaline dayanmaktadır. Ay üzerindeki bir kratere (Abul Wafa krateri) onun adının verilmesi, bu büyük dehanın evrensel ilimler tarihindeki silinmez mührüdür.